Есть ли разница между этими английскими предложениями?

По-моему, нет разницы вапче!

Я бы перевел так:

I remember having shown her the letter. - Я помню, как показывал ей это письмо. (Но тут просится I remember showing her the letter)
I remember to have shown her the letter. - Я помню, что показывал ей письмо.

Как оно на самом деле, наверняка написано в толстых учебниках (которые я позабыл) и носители языка знают :)

Слышь-ка! Походу, не стоит писать I remember to have shown her the letter. Потому как предложение "I remember to show her the letter" означает "Я помню о том, что мне нужно показать ей письмо", с перфектом тут как-то совсем не катит.

Да, конечно,
1) Я помню, что показывал ей письмо.
2) Я помню, что должен был показать ей письмо.

Глагол remember в сочетании с инфинитивом означает "помнить о том, что нужно совершить какое-то дейстие в будущем", в сочетании с герундием — "помнить о действии, совершенном в прошлом".

Такими яркими отличиями при использовании с герундием и инфинитивом обладают еще некоторые глаголы:

forget (забывать) :
с инфинитивом Оборот означает забыть совершить какое-либо действие (которое не имело места) .
I forgot to lock the door. — Я забыл закрыть дверь.
Have you forgotten to meet her? — Вы что, забыли ее встретить?
с герундием Оборот означает забыть то, что действие совершалось (действие имело место) .
I forgot locking the door. — Я забыл, что закрыл дверь.
I'll never forget waiting for bombs to fall . — Я никогда не забуду, как ждал, что начнется бомбежка.

regret (сожалеть)
с инфинитивом Оборот употребляют с глаголами типа say - сказать и inform - сообщить, чтобы с сожалением сообщить о чем-то.
I regret to say that you have failed your exam. — С сожалением сообщаю вам, что вы провалились на экзамене.
с герундием Оборот указывает на сожаление относительно совершившегося события.
I regret buying this computer. — Сожалею, что купил этот компьютер.
I regret having to leave so early. — Мне жаль так рано уезжать.

try (пробовать, пытаться)
с инфинитивом Оборот означает: прилагать усилия, пытаться сделать что-то, что сделать трудно.
I tried to open the window but it was stuck. — Я пытался открыть окно, но его заклинило.
с герундием Оборот означает: попробовать сделать что-то (обычно нетрудное) , поэкспериментировать.
It was hot. I tried opening the window, switching on the fan but nothing helped. — Было жарко. Я и окно открывал, и вентилятор включал, но ничего не помогало.

Разница есть.
Первое : я помню, КАК показал ей письмо (сам процесс)
Второе: я помню, что показал ей письмо (сам факт)
Не надо тут никаких "что мне нужно ей показать письмо". Это неправильно иначе было бы так: I remember that I should show her the letter иди I should have shown her the letter by 8 am tomorrow.

По моему,

1)Я помню, что показал её письмо
2)Я помню, что мне нужно показать ей письмо