Как всё-таки правильно переводить на английский предложения типа "У меня нет кота"?

Вчера ввёл в Гугл-переводчик эту фразу, мне выдали "I don't have a cat".
Кроме этого, я спрашивал у своей девушки, она знает английский в совершенстве, учила его в течение 11 лет. Она тоже сказала: "I don't have a cat".
Хм, интересно, почему тогда, когда я учился в младших классах (2-й, 3-й) и писал "I don't have a cat", учителя зачёркивали мне артикль "a" и при этом жутко (на 4 балла) снижали мне оценку? Разве в английском есть правило, которое запрещает использовать в отрицательных предложениях артикль "a"?
И ещё: обязательно ли глагол to have требует вспомогательного глагола do/does/don't/doesn't ?
В учебнике Happy English я читал, что можно спросить и "Do you have a book?", и "Have you a book?". Говорилось, что можно и так, и так.
Но можно ли сказать: "I have not a cat" или же "I haven't a cat" ?..
А может, лучше будет "I have no cat" или "I have no cats" ?
В общем, помогите разобраться.