Почему слово кашелm cough употребляется с ING окончанием?

he told her she had a bad cold and had to stay in bed for 2 days until her temperature was normal and she stopped coughing.
Здесь нужно применить правило согласования времен. Первый глагол в Past Simple (он сказал) , значит и другие глаголы
тоже должны быть в одной из форм прошедшего времени.. .
Если бы не было фразы он сказал, то предложение имело бы следующий вид
she has a bad cold and she has to stay inbed for 2 days until her temperature is normal and she stops coughing,
По поводу Ing:
stop -ing - прекратить, прекратиться (поэтому вы правильно все употребили stop coughing)
stop to V - остановиться, чтобы что-то сделать... (she stopped to get some petrol - она остановилась, чтобы заправиться)

Герундий однозначно!
Stop +gerund and stop + infinitve have different meanings

В этом предложении to stop coughing применён герундий.

Was to stay. А как это - сильный насморк... пока не прекратится кашель?
Если вы видите перед собой слово, которое считали существительным, с глагольным окончанием, значит, перед вами глагол. Решающим фактором здесь будет функция. Даже если в словаре такого вы не найдете, переход из одной части речи в другую - это обычный способ словообразования.

во! как раз цветок ответил в точку! с этим окончанием в англ. форма слова-герундий, который на наш язык не переводится, но примерно так, что отвечает на вопрос-что делание? -кашляние)

потому чт в англ это как процесс, то есть по русски кашляние))) как то так

Тут почти нечего добавить=)