как по грамматике правильнее одолжить деньги или одолжить денег

Вообше правильно и то, и другое. Дело в том, что в словосочетании "одолжить деньги" мы имеем структуру с винительным падежом, в то время как в словосочетании "одолжить денег" используется так называемый партитив, или частичный родительный падеж, используемый для подчеркивания части, а не всего объема.
Вот как это являение описано в википедии (популярное и понятное описание)
Количественно-отделительный (партитив, или второй родительный)
В этом падеже ставится существительное, означающее целое по отношению к некоторой части, также упоминающейся. Этот падеж мы можем услышать в двух равносильных формах некоторых словосочетаний: например, «головка чеснока» , но также «головка чесноку» ; особенно хорошо он заметен применительно к неисчисляемым существительным: сахару, песку (не путать с дательным) и др. В контексте можно проследить разделение родительного и данного падежа: «нет сахара» и «положить сахару» . В общепринятой школьной системе все эти формы относятся к родительному падежу.
Есть мнение, что этот падеж — один из двух, могущих быть прямым дополнением при глаголе. Причём глаголы могут иметь в качестве прямого дополнения как лишь существительное в партитиве, так и в аккузативе. (Это часто зависит от одушевлённости и исчисляемости существительного) .

Как видим, партитив активно используется в современном русском языке, так что можно сделать вывод, что оба управления правильны и имеют право на жизнь в современном русском языке.

Одолжить деньги или одолжить немного денег. "Одолжить денег" можно было в 19 веке.

Одолжить что? - деньги - вин. падеж.

одолжить деньги