Есть ли какая-нибудь связь между словами "слава", "славяне", "slave" и какая она?

Можно признавать наличие такой связи, можно отрицать ее, но несомненно одно. Для англоязычного уха и глаза "slave" (раб) и "Slav" (славянин) выглядят и звучат весьма похоже. Что очень неприятно, так как обстоятельство это весьма активно используется в пропаганде. В нашей пропаганде, кстати, проводится аналогия со словом "слава". Что до происхождения слова - то эти негодяи его ведут от народного хазарского обычая - торговать славянскими рабами. За что им Вещий Олег и мстил по делу. Оправданность такого подхода маловероятна, но это тоже растиражированный элемент пропаганды. Туда же и невезучие сербы попали, и плевать пропагандистам, что на самом деле корень слова - "серебро", они-то ведут его этимологию от "serve", то есть "слуга". Низшие расы, что там говорить.. . Их и побомбить не грех. Вот поэтому я слово "славянин" ОЧЕНЬ не люблю, а в диалоге с англоязычным собеседником весьма пристально прислушиваюсь к произношению: если что - и в ухо зарядить могу. Русский я, "Russian", что англоязычное ухо воспринимает еще и как "резкий". И вполне оправдано.

Сла́ва:

Слава — известность, репутация, восхваление.
Слава Господня — богословское понятие.
Слава — православный праздник.
«Слава» — название и торговая марка Второго Московского часового завода.
«Слава» — команда по регби из Москвы.
«Слава» — национальная спортивная премия.
Слава (кинотеатр) — кинотеатр в Санкт-Петербурге.
Славя́не (ст. -слав. словѣнє, белор. славяне, укр. слов'яни, болг. славяни, серб. и макед. Словени, хорв. и босн. Slaveni, словен. Slovani, польск. Słowianie, чеш. Slované, словацк. Slovania, кашубск. Słowiónie, в. -луж. Słowjenjo, н. -луж. Słowjany) — крупнейшая [1] в Европе этноязыковая общность.

В настоящее время славяне расселены на обширной территории Южной и Восточной Европы и далее на восток — вплоть до Дальнего Востока России. Славянское меньшинство имеется также в государствах Западной Европы, Америки, Закавказья и Средней Азии. Общая численность славян — 300—350 млн человек, из них около трети — русские (137 млн) . Выделяются западные славяне (поляки, чехи, словаки, кашубы и лужичане) , южные славяне (болгары, сербы, хорваты, боснийцы, македонцы, словенцы, черногорцы) и восточные славяне (русские, украинцы, белорусы) .
Существуют несколько версий происхождения этнонима «славяне» .

Основными являются четыре: от слово (люди, говорящие «по-нашему» , в отличие от немцев — «немые» , т. е «не владеющие нашим языком» , «чужие») ; от индоевропейского корня *kleu- 'молва, известность' (ср. слава) ; от топонима, видимо, названия реки (ср. эпитет Днепра Славутич, реки Слуя, Слава, Славница в разных славянских землях) ; от корня *s-lau-os 'народ' (с индоевропейским «подвижным s»), ср. др. -греч. λᾱός.

корень "слав "