Существует ли какая-то связь в словах "этика" и "этикетка"?

да. оба относятся к внешней стороне, к поверхности, к формальности. "превращённая форма" написал бы дедушка Маркс...

«Этикет» и «этикетка», действительно, родственные слова. В наш с вами великий и могучий они пришли из французского, а до французского успели побывать в голландском. ..А вот слово «этика» никакой не родственник, потому что оно латинское и имеет совершенно другой корень. А произолшо всё вот как: французское слово etiquette имеет два значения: 1) «ярлык», «этикетка», «надпись»; 2) «церемониал», «этикет». ..А всего каких-то сто лет назад слово «этикет» могло обозначать в русском языке «ярлык, наклеиваемый на бутылки и обертки товаров, с обозначением названия фирмы, торговца и производителя», однако закрепилось с этим значением все же слово «этикетка». Вот такие вот дела.

Слова этика, этикет и этикетка однокоренные.

Не смотря на то, что ряд авторов выделяет эти слова из разных языков, греческого, французского и т. д., всё на много проще.
Этика - раздел философии, наука, изучающая мораль, нравственность как форму общественного сознания и как вид общественных отношений.
Этикет - правила поведения людей в обществе, поддерживающие представления данного общества о подобающем.
Этикетка - правила использования товара.

Исторически они восходят к разным языкам (слово «этика» заимствовано из латыни, слово этикет голландское, в переводе означает «колышек, шпенёк». Первоначально обозначало колышек-ценник, воткнутый в товар, к которому привязывалась бумажка с названием товара, позднее этикет-ценник-ярлык в XVII веке заимствовали французы, сразу же найдя ему двойное применение.)

никакой

Нет никакой.
Чистое совпадение.
https://ru.wiktionary.org/wiki/этикетка