Почему некоторые слова разных языков похожи?

Потому что звуков речи 20-30, а слов - десятки и сотни тысяч.

потому что есть такой процесс, как заимствование слов

могут происходить от одного праязыка - родство языков - языки, происходящие от одного общего праязыка, называются родственными. Р. Я. может быть более близким и более далеким. Так, русский, польский, сербский и др. славянские языки, происходящие от общего им предка, яз. общеславянского, стоят в более близком Р. между собой, чем к балтийским языкам, литовскому и латышскому, потомкам языка общебалтийского, т. к. ближайший общий им предок, язык балтийско-славянский является общим предком языков общеславянского и общебалтийского; и те и другие языки стоят в более близком родстве между собою, чем к тоже родственным им языкам французскому, немецкому, греческому и др. , п. ч. ближайший общий предок их с языками славянскими и балтийскими, яз. общеиндоевропейский, является предком и для языка балтийско-славянского. Родственные связи существуют или по кр. мере могут быть доказаны при современном состоянии науки далеко не между всеми языками. Так можно считать установленным Р. между всеми индоевропейскими языками (т. -е. б. ч. европейских и языками Индостана и Ирана) , а также между всеми турецкими или тюркскими языками, между семитскими языками, между финскими языками и во многих других случаях, но говорит о Р. индоевропейских языков С финскими, турецкими, китайскими и др. мы в настоящее время не имеем достаточных оснований, как нет таких оснований и для того, чтобы говорить, положим, о родстве финских или турецких языков с китайским и т. д. Классификация языков по происхождению или по степени Р. называется генеалогической.

Н-р: в различных языках. "мне", "меня", "мой", "мои":

русс. мне, меня, фр. me; moi; à moi, англ. me, др. -англ. mē, др. -англ. mē, ирон. мæнæн, мын, укр. менí, мене́, блр. мне, мене́, др. -русск. мънѣ, мене, ст. -слав. мьнѣ, мене, болг. мен, ме́не, сербохорв. мѐни, мѐне, словен. mèni, mène, чеш. mně, слвц. mne, польск. mnie, в. -луж. , н. -луж. mni, mnje, др. -прусск. mennei, лит. mánei, mán, др. -инд. máhya(m), máma, авест. mаnа, коми. мем, тур. bana, лат. mē, mihī, умбр. mehe, нем. mir;