Как объяснить постановку запятой? Изможденные непосильной трудовой деятельностью, герои...

Согласна с Sweet Little One, что запятой выделяется причастный оборот, осложненный
обстоятельственным значением. Такое определение должно обозначать не только
признак предмета, но и обстоятельственно характеризовать сказуемое (а его нет) .
Есть и такой случай: обособление причастного оборота, стоящего непосредственно перед определяемым словом, зависит от интонации автора.
В Вашем случае запятая свидетельствует о том, что автор логически выделяет последнее слово причастного оборота "деятельностью",
интонационно отрывает причастный оборот
от существительного "герои", делая перед ним паузу.
Если автор хочет поставить логическое ударение на существительное "герои", то причастный оборот будет интонационно сливаться с этим словом, тогда запятая не нужна.

деепричастный оборот, видимо

непонятно, почему запятая - вроде бы причастный оборот, стоящий перед определяемым словом, не выделяется - может авторский текст- он может ставит знаки для усиления восприятия

Причастный оборот перед определяемым словом выделяется запятой, если имеет дополнительное обстоятельственное значение.
В вашем примере вероятна причина как обстоятельственное значение, но без продолжения высказывания трудно это утверждать.

причастный оборот. в некоторых случаях он выделяется, когда стоит впереди... только вот забыла в каких (((( давно училась...

Причастный оборот

тут оборот деепричастный (кажется) , который выделяется запятыми

причастный оборот

это причастный оборот. обычно он не выделяется, когда идет перед определяемым словом, но в данном случае имеет обстоятельственное значение причины, наверно

Можно написать двояко. Изможденные непосильной трудовой деятельностью -это обособленное определение, выраженное деепричастным оборотом, стоящее впереди определяемого слова ГЕРОИ. Если выделяется интонационно, то ставится запятая, если нет, - то не ставится.