...пиша письмо...

Деепричастие "пиша" считается всего лишь несвободным в употреблении. И - да, оно соответствует нормам литературного языка.

Писатели не испытывают никаких затруднений, употребляя его.


Викисловарь

Внимательно изучив филологические рассуждения, Вы увидите ссылки (не кликабельные) на другие достойные словари. И в первую очередь на словарь Трудностей.

Филилогический форум -1
Филилогический форум -2

..."Свеженький" словарь РАН - "Толковый словарь русского языка с включением сведений о происхождении слов" (отв. ред. Н. Ю. Шведова) . Он 2007 года, но мы на него как-то редко ссылаемся, поэтому для разнообразия его взяла. Так вот, там есть "пиша" с пометой разговорное.

смотри gramota.ru Там можно и вопрос задать!

Напиши, когда я писал письмо. И не заморачивайся...)))

Деепричастия несовершенного вида не образуются от глаголов:
1) от ряда односложных глаголов, не имеющих в основе настоящего времени гласных звуков: ждать (ЖД-т) , лгать (ЛГ-ут) , ткать (ТК-ут) и под. ;
2) от глаголов с чередующимися согласными основы: вяЗать -- вяЖут, пляСать ---пляШут и под. , в этот ряд входит и глагол ПИСАТЬ ---ПИШУТ;
3) от глаголов на -ЧЬ типа пеЧЬ, береЧЬ;
4) от глаголов на -НУ типа мокНУть, глохНУть;
5) от глаголов БЕЖАТЬ, ХОТЕТЬ, ПЕТЬ, ГНИТЬ, ЛЕЗТЬ.

Эта форма не соответствует нормам. Нужно сказать "в то время, когда я писал письмо".

Пися...

писая на письмо)

Его нет.