Почему можно ставить два глагола?

Потому, что времена разные и образуются они по-разному.

They are living in Russia
Это Present Continuous Tense, которое образуется с помощью вспомогательного глагола to be в соответствующей форме (в Вашем случае are) и смыслового глагола, к которому добавили окончание -ing. Вот и получили are living.
Предложение в этом времени означает, что в данный момент (т. е. в момент разговора) они живут в России.

They are live in Russia -> They live in Russia
Это предложение в Present Simple (Indefinite) Tense. Образуется просто при помощи смыслового глагола (после местоимений третьего лица единственного числа he, she, it к глаголу добавляется окончание -s). Вот и получается, что никакого are здесь нет, т. к. время образуется без вспомогательного глагола to be. Такое предложение означает, что они изо дня в день живут в России, а не только в момент разговора.

Вот, почитайте, здесь вроде бы нормально рассказывается
http://www.grammar.sourceword.com/unit1.php
http://www.grammar.sourceword.com/unit3.php

are...to be и обычный глагол разные вещи... и зависят от времени, "состояния" (Pr. Simple, Past Perfect и прочие )
у тебя написано в первом предложинии "они живут в России (сейчас) ", а во втором "они живут в России (всегда, постоянно) "
если я англ. не забыл, то все верно расписал))

living не глагол, а деепричастие: живущие. А так как в англ обязателен глагол, то are обязателен, они есть живущие...

про время present continuous почитай

Полностью согласна с ответом ~ARTEMIDA~