Почему в транспорте, и не только, пишут "запаснЫй" выход, а не "запаснОй"?

Это профессиональный жаргон.
Такие странные ударения в русском языке встречаются сплошь и рядом. Ни один моряк не скажет "кóмпас" или "рáпорт" - только компáс и рапóрт. Поголовно все горняки говорят "дóбыча", поголовно все судейские и прокурорские - "осýжденный" (а не "осуждённый"), а шофёры-дальнобойщики все как один - "килóметр". Бороться с этим, увы, бесполезно, а "запасный" даже вон в словари попало...

удивительно, но это - разные слова и даже разного происхождения

запасной - от слова "запас", запасный - от "опасность".

"мы мирные люди, но наш бронепоезд стоит на запасном пути"

Украина Forever ^)

Запасный выход - аварийный выход. Выход, которым пользуются в случаях крайней необходимости. Запасной выход - не главный, не парадный вход/выход. Дополнительный выход, служебный выход, черный ход, тайный (потайной) ход.
Запас - сбережение или заготовление чего-либо на будущее или с избытком. В данном случае - выход заготовлен, им запаслись. Запасным может быть запасной выход. Как и запасной - запасным"

"Форма запасн'ой, вошедшая в активную речевую практику в 20-30-х гг. ХХ в. , уже в Словаре Ушакова признается единственно нормативной (вариант зап'асный оценивается этим словарем как устаревший) . Однако в некоторых терминологических сочетаниях (запасный выход, запасный путь, запасный полк) вариант с ударением на основе держался еще до конца ХХ столетия. Сегодня большинство словарей признают и для этих сочетаний варианты запасной и запасный одинаково правильными, хотя некоторые продолжают настаивать на обязательности употребления в сочетании со словом выход только прилагательного запасный

согласно правилам русского языка
Запасный выход - аварийный выход. Выход, которым пользуются в случаях крайней необходимости.
Запасной выход - не главный, не парадный вход/выход. Дополнительный выход, служебный выход, черный ход, тайный (потайной) ход

потому что так правильно