Почему названия букв пишутся через Э: бэ, вэ, гэ и т. д. ? Ведь по правилам должна быть буква Е.

Вы привели правила правописания заимствованных слов.
Но поначалу так и было - с "е "- и произношение, и написание названий букв русского алфавита. . Вспомним историю алфавита 19-20 вв.
Современные названия были взяты у названий букв европейских алфавитов (латинский, немецкий, французский) : а, бэ, цэ, дэ, э, эф, гэ, ха, и, (йот) , ка, эль, эм, эн, о, пэ, (ку) , эр, эс, тэ, у, вэ, (дубль-вэ, икс, игрек) , зэ (д) . Букву ч назвали че, а все последующие буквы сохранили своё прежнее наименование: ша, ща, ер, еры, ерь, ять, э, ю, я, фита, ижица. Только произносили их мягко, поэтому и писали с "е"
После реформы 1917—1918 годов русский алфавит утратил буквы i (десятеричное) , ять, фиту и ижицу. Также в алфавите официально стала числиться буква й, именовавшаяся до этого как «и съ краткой» («кратка» — старинный надстрочный знак вверху буквы й) .
В орфографическом словаре Ушакова 1934 года названия букв де, зе, те меняются на дэ, зэ, тэ. Однако названия бе, ве, ге, пе — пока ещё сохраняют старое произношение.
В толковом словаре Ушакова (1940) эти последние бе, ве, ге, пе — уже читаются и как [бе] , [ве] , [ге] , [пе] , и как [бэ] , [вэ] , [гэ] , [пэ] .
В первой половине XX века названия четырёх букв произносилось не [э] , а с [е] . Так, С. И. Ожегов в первых изданиях своего словаря рекомендовал произношение букв б, в, г, п как [бе] , [ве] , [ге] , [пе] , однако позже, в силу тенденции к унификации установилось произношение названий этих букв, как [бэ] , [вэ] , [гэ] , [пэ] [3].
Названия шипящих: в связи с унификацией также названия «же» и «це» были заменены на «жэ» и «цэ» (произношение осталось прежним) . Однако, название «че» оставили, это единственное имя буквы, которое заканчивается на букву «е» .
В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» [4] 2006 года и в «Русском орфографическом словаре» РАН [5] названия букв «же» и «це» вновь пишутся через «е» .

Александр, названия букв ведь не слова. К ним те правила неприменимы.

Заимствованные слова. Алфавит тоже позаимствован с латиницы. В европейских языках нет буквы Е, вернее она есть ночитается как Э. Мы же говорим например слово Ева, а они Эва. Например в польском звук е пишется ie, например в слове Nie

Это не названия, а приблизительная транскрипция.

потому что названия букв состоят из ЗВУКОВ.

твердые и мягкие, в алфавите принято произносить как твердые (эС, а не Сь)

Это для тональности, что-бы лучше слышно было при произношении отдельной согласной буквы.

А где так пишутся названия букв?

пишется с учетом произношения, ибо если написать БЕ-то и прочтешь Бе, а буква -бэ.