Английский язык. Глагол to have

А кто составлял тест? Их ответ звучит как-то искусственно.
Мне кажется, Вы правы: Now she had difficulty... ("теперь у нее
были трудности" - в переводе на русский лучше множ. число,
а еще лучше вместо "были" поставить "возникли, появились"),

Пример из Оксфордского словаря Multilex:

Now he tried another plan - тогда он попытался осуществить
другой план

Или просто в Present Simple.

Дело в том, что now в зависимости от контекста может означать
не только "сейчас", но и "теперь", "и вот", "однако".

Now she has difficulty in putting facts in order.

можно перевести так:

"Ну вот, теперь у нее трудности с приведением данных в порядок. "

Первое, конечно.
Даже если не вникать в нюансы употребления have в настоящих временах, а действовать методом исключения. Обстоятельство времени now здесь исключает как Past Indefinite (yesterday, last week, in 1985), так и Present Perfect (recently, since, just, all this time).
Now she is having difficulty in putting facts in order. Один из случаев, когда have естественно употребляется в Continuous. Обычное дело.
Лингво дает 19 значений now, из которых "сейчас", относящееся к настоящему времени - первое: You use now to refer to the present time, often in contrast to a time in the past or the future. Трудно ожидать, чтобы в простом тесте на времена без широкого контекста вам предлагали -надцатое значение modifier.
Оно вообще может быть разными частями речи - наречием, местоимением, союзом.

Все варианты приемлемы, но ортодоксальные советские учебники признают только единственное правильное решение. Здесь упражнение построено на ложном постулате, что этот глагол в данном смысле "нельзя" употреблять в продолженном виде. Поэтому, пишите had.

Если быть чуть спокойнее, думаю, во всем можно разобраться. To have - не только кушать, как вы сами заметили. Далее, речь идет о "now", значит, подходит лишь "is having". Но по мне тут лучше всего "Now she has difficulty..."

Вопрос: как Now может относиться и к прошлому? Сейчас она вчера поела. Так? Конечно первый.

"Хэд", в принципе возможно при определённом контексте.
В данном случае это отчасти Настоящее Продолженное время, а отчасти устойчивое выражение.
Можно, конечно, сказать и в Презент Симпл, но в основном используется именно такой вариант.
Это довольно-таки устойчивая конструкция.

Поищите в интернете кострукции типа "Ай эм хэвинг хард тайм ..."

Прошу прощения за такой транслит - самого коробит.

второй