Помогите понять логику. Когда необходимо использовать глагол to Be и все его производные (am/is/are/was/were)?

Это глагол, несущий ДВЕ роли в английском. Первая - смысловая, как любой другой глагол, только он передает не действие, а СОСТОЯНИЕ.
Вторая роль- грамматическая, как сказала Юлия. (о грмматической функции проще просто выучить по таблица, . да и Вы, я думая знаете)
А вот о смысловой, подумайте о нем так:
1) это просто глагол "быть" "есьм" "являться"
"Аз есмь царь"
В русском он тоже есть, просто редко присутствует в настоящем времени.
Например:
Я дома.
В английском здесь нужен to be, а в русском он появляется только в других временах : вчера я БЫЛ дома, завтра БУДУ дома.
Вчера БЫЛ ужасный день. Сегодня ужасный день. Yesterday WAS bad. Today IS bad.
2) Еще он передает местонахождение, поэтопму никаие "is situated" часто не нужны:
I am here. He is at home. My school is near the metro station.
Часто ученики с трудом переводят: "Tам никого не было. " - Nobody WAS there"
Никого нет. - Nobody is there.
3) Поскольку он передает СОСТОЯНИЕ, он является (видите, в русском нужно использовать длинный дурацкий глагол "вляется", в английском я бы просто сказала здесь "is"), частью выражений, передающих состояие:
to be happy, tired, angry, sick, well, итд.
Сакжу вам любопытный факт - в славянских языках он был и есть практически точно такой же как в английском. Например в чешском он совпадает с английским почти на 100%, хотя язык похож на русский. Чешским студентам намного легче понять этото глагол, чем русским.
Смотрите фильмы, сериалы с субтитрами и вы скоро начнете его понимать как родной.

Это глагол связки. "Связки" потому, что связывает существительное или местоимение с другими частями речи, поскольку ни существительное ни местоимение без глагола в английском не употребляется.
Пример:
я счастливая- местоимение + глагол+прилагательное= I am happy