а как по-английски: ""мне надо идти завтракать и умываться? ""?

I must (need to) have breakfast and wash.
Артикля перед breakfast в данном случае не должно быть.
И ещё возможны варианты, всё зависит от того, куда вам надо идти
I must go downstairs for breakfast and go to the bathroom to wash.
must - если эту необходимость осознаёт сам говорящий, если это его мнение.
have to - если это необходимость вызвана мнением или давлением со стороны (мама, например, зовёт вас к завтраку или подгоняет умываться)

Обычно сначала умываются, а затем завтракают ..))

В английском когда говорят о приеме пищи, обычно используют my breakfast

I need to have my breakfast and wash.

вообще-то wash up это мыть посуду! а когда мы в чем-то нуждаемся, то используем модальный глагол have to. Так что:
I have to have a breakfast and wash

I'm goind to have a breackfast now and than need to wash my face,
i need to have a breakfast and wash myself/my face.

I must have a breakfast ans clean my face.

I have to have a breakfast and wash up
или
I must have a breakfast and wash up

Мне нужно идти завтракать - I need to go to lunch.
Мне нужно идти умываться - I have to go wash
Мне нужно идти завтракать и умываться - I need to go to lunch and wash