Какая разница между НУЖНО и НАДО? В каких случаях что лучше употреблять?

В правиле – Запятая в сложносочиненном предложении –

есть такой пункт:

- Запятая перед союзами И, ДА (в значении «и») , ИЛИ, ЛИБО не ставится, если части сложносочиненного предложения выражены двумя безличными предложениями, имеющими СИНОНИМИЧЕСКИЕ СЛОВА в составе сказуемых:

НУЖНО срочно рассмотреть авторские заявки и НАДО дать по ним заключение.

- ------

К слову «нужно» - синоним слово «надо» в 1-м значении (см. также на примеры - в которых эти слова не взаимозаменяемы)

Никакого ОГРАНИЧЕНИЯ по стилям (ну, что какое-то из них принадлежит к разговорному) НЕТ – иначе в толковом словаре обязательно была бы помета «разговорн.» .

- ------ ---

Посмотрим на их словарные значения и употребление:

НУЖНО, в функц. сказ. -

1. обычно с инф.
= Необходимо, следует; НАДО (1.Н) . Нужно написать письма. Мне н. поговорить с тобой. Мы не знаем, как н. хозяйствовать.

2. кого-что или чего.
Требуется, следует иметь. Срочно нужно врача. Для этой работы нужно двух человек. Мне н. сто рублей. Для этого пирога н. орехи.

- Очень нужно, в зн. частицы.
Выражает нежелание, несогласие, протест. Будем ждать дочь? - Очень нужно!

- -

1.НАДО, в функц. сказ. обычно с инф.
Необходимо, следует; НУЖНО. Надо дочитать книгу. Мне надо позвонить по телефону. Н. ли этот вопрос повторить? Сколько вам н. денег? - Сто рублей. Н. посоветоваться.

- Надо и честь знать = Пора кончать что-л. , уходить и т. п.
- Надо же! ; Ведь надо же! в зн. межд.
Восклицание, выражающее удивление, изумление.
- Что надо, в функц. сказ. = Очень хороший, самый лучший. Мука - что надо!

- Надо думать; надо полагать:

- I. в зн. вводн. сл.
Выражает предположение в достоверности чего-л. ; вероятно, может быть, по-видимому.
- II. в зн. частицы (в начале ответной реплики) . (употр. как утвердительный ответ на вопрос или предположение собеседника) .
Да, конечно, само собой разумеется.

- Надо сказать, в зн. вводн. сл.
Подтверждает мысль говорящего; действительно, в самом деле.

Рядом с Федей - надо

Мне кацца что:
Надо - более грубая, бескомпромиссная форма, например:
А ну, Парамон, поглощай манную кашу срочно, надо всю съесть! Не съешь - из-за стола не вылезешь!
Нужно - как бы подразумевает что есть объяснение этому нужно, что принуждаемый и сам допетрит почему нужно, это, мне кажется, более литературная форма, мягкая:
Нужно всё-же выучить математику,: скоро род. собрание, а то мне стыдно будет в глаза смотреть классному руководителю.. .
хм

Надо живее, разговорнее.

Как удобно так и говори. . .Я вот говорю не положи, а поклади! Не ноги, а нохи (как хохлы) так прикольнее просто, а иногда с грузинским акцентом, а иногда и американским, все прикольнее :) И смотря хде! Если в сурьезных заведениях, то говори и так и так никто не заметит, а если и заметит то пошли их на хуй и дальше мило веди беседу!

надо вобще не употребляйте,

Нужно - разговорное.
Надо - более официальное и чаще используется в художественных произведениях.