В каких случаях используется lot а в каких many?

Many используется перед исчисляемыми существительными, а much —
перед неисчисляемыми.
Many и much находят применение:
1) в отрицательных и вопросительных предложениях;
2) перед подлежащими;
3) перед словами, обозначающими периоды времени;
4) после предлогов;
5) после наречий very, too, so.
В остальных случаях употребляется a lot (of), хотя в последнее время
оно начинает проникать в вопросительные и отрицательные предложения,
а также на место перед подлежащим.
I haven’t got many Italian books. — У меня мало книг на итальянском языке.
(Но еще меньше у меня только китайских. )
Did you spend much time on your math yesterday? — Ты потратил много вре-
мени на математику вчера? (Не столько на математику, сколько на то, что-
бы уговорить папу потратить время на математику. )
Many veterans came to the central square on Victory Day. — Многие ветераны
пришли на центральную площадь в День Победы.
I have been working on the invention for many months. — Я работаю над изо-
бретением уже много месяцев.
The theatre was designed for many spectators, but it isn’t so popular nowadays.
— Театр был спроектирован на множество зрителей, но в наши дни
он не так популярен.
Thank you very much. — Большое спасибо.
You have done so much for me and my family. — Ты столько сделал для меня и
моей семьи. (Теперь она такая большая. )
He’s been drinking too much lately. — Он так много пьет в последнее время.
(Но зато мало ест.)

Как и в русском, нюансы:
можно сказать "Я прочитал массу книг", а можно Я прочитал много книг.

Почитайте статью с примерами Когда используется a lot of, much, many.