этимология пословицы " не мытьем, так катаньем"

Не мытьем, так катаньем
Поговорка эта вызывает разные вопросы. Во-первых, что за странное противопоставление двух ничего общего между собой не имеющих занятий: где тебе мытье и где тебе "катание"? Во-вторых, почему слово "катание" произносится тут так странно и неправильно: "катанье"?
Начнем с первого.
Мало кто из современных читателей видел или знает, как шерстобиты выделывают валеную обувь. А при этом промысле шерсть, идущую на валенки, и моют, и парят, и валяют, и "катают". Определенный сорт мягких валенок поэтому так и называется "катанки". Есть мнение, что именно в среде валенщиков-шерстобитов могло родиться и это присловье.
Но можно дать ему и другое объяснение. Лет пятьдесят - шестьдесят назад профессиональные прачки, кроме известных нам орудий - корыта, мыла, утюга, пользовались при стирке белья еще двумя теперь уже почти забытыми приспособлениями. Это были "скалка", или "каток",- круглая деревяшка, наподобие той, какой раскатывают тесто, и "рубель" - изогнутая рифленая доска с ручкой, при помощи которой скалке можно придавать вращательное движение, "катать" ее вместе с накручивающимся на нее полотенцем, простыней или скатертью. Выстиранное белье нередко предпочитали не гладить утюгом, считая, что глаженье может его испортить, а выкатывать скалкой до полной гладкости. Прачки-искусницы знали, что хорошо прокатанное белье имеет отличный, свежий вид, даже если стирка произведена не совсем блестяще. Поэтому, погрешив иной раз в мытье, они добивались нужного впечатления иначе, умели "взять не мытьем, так катаньем".
Хорошо, но почему же "кАтаньем", а не "катАньем"? Потому, очевидно, что присловье это родилось в тех областях нашей родины, в говоре которых слово это имело как раз такое не употребительное в литературном языке ударение. Ученый диалектолог, если вы обратитесь к нему с вопросом, сможет назвать вам, вероятно, какими могли быть эти области.
Литературный язык взял на вооружение готовую поговорку вместе с приданной ей в народе чисто народной формой, с народным ударением; так случается нередко.

Раньше стирали бельё с помощью рубеля (наподобие скалки) и стиральной доски с выступами.
Очень грязное бельё наматывали на рубель и с усилием водили (КАТАЛИ) по доске. Вот тебе и КАТАНЬЕ белья.