верно ли грамматически такое построение предложений: you are to be strong (ты должен быть сильным\ой) и т. п.?

Must, to be to, а также have to - все выражают модальность "долженствование", но разную.
Must - долженствование, основанное
а) на личном мнении ("Я так сказала! " Например, мама рассказывает ребёнку, что, на её взгляд, он должен делать) You must make you bed every morning.
We must eat healthy food to keep fit
б) согласно инструкциям, приказам, истинам - You must be patient to become a good teacher. They must do their work on time.
Зачастую это моральный долг - I must help my parents. - Я должен помогать родителям. (Я так считаю, это правильно)

Have to - обозначает необходимость в силу сложившихся обстоятельств. Переводится как "вынужден, приходится"
I have to get up early to arrive at work on time.
I have to help my parents - Я вынужден помогать родителям. Мне приходится это делать. (Сравните с must)

To be to - это долженствование в силу плана, программы, предварительной договорённости, контракта.
Великолепно иллюстрирует его употрепление такой пример:
The train is to arrive in 5 minutes. - Поезд должен прибыть через 5 минут.
Ни must, ни have to здесь не пойдут, так как у поезда не может быть ни моральных обязательств, ни обстоятельств, вынуждающих его что-то сделать.

Именно в силу значения модального глагола to be to для меня предложение You are to be strong. звучит немного странно.
Я бы взяла MUST - You must be strong.
Почитать подробней можно в инете, я старалась объяснить вам своими словами.

Модальность выбрана неверно. Нельзя без мысли подставлять эквиваленты модального глагола must. Они не только восполняют недостаток форм, но и имеют каждый свой смысл.
To be to всегда имело значение "должен по плану, договоренности", безо всякой степени и официального оттенка.
They are to arrive at five. We are to meet at seven.

You must be strong имеет смысл как выражение морального долга.
You have to be strong - ничего другого не остается, как быть сильным, в силу обстоятельств.
Смысл вашего варианта трудно представить. Кто с кем договаривался быть сильным?

Как-то не так

Смысл выражения You are to be strong несколько иной.
Ты будешь сильным, ты обязательно будешь, потому что другого и быть не может. (неизбежность или обещание)
You have to be strong. - Тебе придётся быть сильным - жизнь заставит, обстоятельства. (вынуждённость)
You should be strong. - Тебе следует быть сильным, а не тюфяком, как сейчас. (порицание)
You must be strong. - Ты обязан быть сильным. Это входит в круг твоих первоочередных задач, интересов. Твоя обязанность. (обязанность)

абсолютно верно.

to be to do smth. - конструкция, выражающая сильную степень долженствования, но с официальным оттенком.