Нужна ли в этом преложении запятая: "Жаль правило забыл"??? И почему?

В зависимости от того, в отношении чего высказывается сожаление: если жаль правило, то после "правило" запятая, если сожалеешь о том, что забыл, то после "жаль"

Обязательно. Развернутое (полное ) предложение будет звучать так: "Жаль, что правило забыл". Таким образом Вы можете осуществить проверку.

После "жаль". Дело в том, что дальше идет придаточное предложение, просто союз "что" пропущен, это бывает в разговорной речи.

Думаю, что здесь нет придаточного предложения. Есть так называемое вводное слово, в данном случае соответствующее междометию, или парентеза, то есть высказывание, при удалении которого из фразы смысл существенно не изменится, изменится оттенок, в данном случае- модальность. Мнение о сокращении придаточного предложения за счет исчезновения союза- имеет право на существование. Плюрализм мнений в грамматике- стимул для размышлений.

В зависимости от контекста

Нужна, т. к. "правило забыл" - придаточное предложение (Придаточное изъяснительное) . Жаль (что?) , правило забыл.

И, кстати, если это цельная фраза, а не объяснение того, почему вы испытываете грусть, жалость, то запятая вообще не нужна: "Жаль ручку забыл". Например: "У нас сегодня будут конкурсы!" - "Жаль! (сказал, смотрит на непонимание, и объясняет) - ручку забыл! - а так бы шарики полопал (на конкурсах)", либо говорит "Жаль ручку забыл" (с сарказмом, либо холодным, твёрдым голосом), выражая тем самым, на одном выдыхании, что ему это не интересно (намекая, что лопал бы шарики и портил бы другим праздник).

Если жаль - междометие, не связанное со сказанным далее, - то нужна. Если сказуемое (причём им может быть и междометие) - тире, т.к. это пояснение того, почему жаль, или почему было сказано междометие (или почему жалить кого-то нужно из-за этого; например: "Я пришёл в 18 - встреча была назначена именно на это время." - тут пояснено, почему было прийдено в 18). Если бы это было объяснением действия, тогда нужно было бы двоеточие; но "правило забыл" - не объяснение слова "жаль" (объяснением было бы, например, "я сижу и грущу", т.е. "Мне жаль: я сижу и грущу").

В любом случае напомню, что запятыми и точками мы на письме отражаем паузы в устной речи, - так что запятая могла бы быть где угодно.