Почему нет артикля перед distinction в предложении She passed her secondary examination with distinction?

Тогда после distinction должно быть определение, ограничивающее значение слова. Но его нет, следовательно, значение абстрактное. А существительные в абстрактном значении употребляются без артикля.

В этом случае нельзя.
Только глядя на слово часто нельзя определить, полагается ему артикль или нет.
У distinction несколько значений.

1. NOUN COUNT - исчисляемое существительное
A distinction is a difference between similar things.
The distinction between craft and fine art is more controversial.
Различие.

2. N-UNCOUNT - неисчисляемое существительное

Distinction is the quality of being very good or better than other things of the same type. [FORMAL]
Lewis emerges as a composer of distinction and sensitivity.
...pieces of furniture of distinction. Выдающийся, заметный, высокого качества

3. NOUN COUNT

A distinction is a special award or honour that is given to someone because of their very high level of achievement.
The order was created in 1902 as a special distinction for eminent men and women...
I did an M.A. at Liverpool University in Latin American Studies and got a distinction.
Syn: honour. Отличие.

Есть еще NOUN SING - существительное единственного числа.

В вашем случае это третье значение.
Часто в словарь надо заглядывать для того, чтобы узнать не значение слова, а его грамматические характеристики, ставить артикль или нет, как управляет, глагол это или прилагательное.