Почему здесь в тексте нет запятой перед и, опечатка или так надо?)

Это у вас сложноподчинённое предложение с однородными придаточными (дополнительными = изъяснительными).

[Я думаю], (что дождь не будет продолжаться очень долго) и (мы сможем пойти в лес собирать грибы и ягоды).

1.В сложноподчиненных предложениях с несколькими однородными придаточными знаки препинания ставятся по правилам, действующим при отделении однородных членов простого предложения.

2. Между двумя придаточными, соединёнными одиночными соединительными (или разделительными союзами и, или, либо, да в значении «и»), запятая НЕ СТАВИТСЯ (при этом подчинительный союз или союзное слово может и не повторяться).

Я ДУМАЮ ( ЗАПЯТАЯ) ЧТО ДОЖДЬ НЕ БУДЕТ ДОЛГО ПРОДОЛЖАТЬСЯ (ЗАПЯТАЯ) И МЫ СМОЖЕМ ПОЙТИ В ЛЕС (,) СОБИРАТЬ ЯГОДЫ И ГРИБЫ.

Нет, всё верно. СПП и союз -что- относится к двум придаточным одновременно. Запятая не ставится.

Я бы запятую поставил. Придаточное предложение -- "что дождь не будет продолжаться очень долго" -- относится к главному "я думаю", а дальше пошла новая основа, связанная сочинительной связью с основой "я думаю". Так гораздо логичнее.

Опечатка. ССП - запятая обязательна.

Это предложение с разными видами связи: сочинительной и подчинительной.
Я думаю, что дождь не будет долго продолжаться, и мы сможем пойти в лес собирать ягоды и грибы.
Я думаю о дожде. Вторая часть предложения не относится к предложению "я думаю". Здесь последовательная смена событий, то есть сочинительная связь:
[ ], (что...), и [ ]