Не пойму правильно ли грамматически говорить me too (я тоже), говорят ли так носители или всегда используется so do i

Правильно, конечно. Только есть два момента, которые надо знать о Me too. / Me neither. ( для согласия с отрицательным предложением)
1) Это разговорный вариант, а потому более частотный.
2) Не всегда, точнее не на любую реплику можно в ответ сказать Me too.
Например, в ответ на It's nice to meet you. ответить "Me too." нельзя, ведь в исходной реплике нет подлежащего "I". ( Варианты ответа на эту реплику - You too. And you. Likewise.)
Теперь о So do I.
Возможно, вы это знаете, поэтому я лишь напомню, что So do I. - не универсальное "Я тоже. " В серединке будет стоять тот вспомогательный/модальный глагол, который нужен, в зависимости от исходного предложения. А если вы соглашаетесь с отрицательным предложением, то вместо So должно быть Neither или Nor.
I am glad to meet you. - So am I.
He likes sport. - So do I.
They went to a restaurant yesterday. - So did we.
I can swim. - So can I.

I am not from Spain. - Neither am I. / Nor am I./ I am not from Spain either.
He doesn't like pop music. - Neither do I.
I haven't graduated from University yet. - Neither have I.
She can't bake. - Neither can I.

When in Rome - do as the Romans do!

На экзамене - как профессор...

Говорят сплошь и рядом. В этом смысле правильно

me-это мне
I, too-я тоже.

me too - способ согласиться с ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ утверждением.
me neither - способ согласиться с ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ утверждением.
Эти две реплики можно использовать в ответ на утверждения, выраженные в ЛЮБОМ времени.

С конструкцией ТИПА So do I / Neither do I сложнее.
Вариант ответа зависит от конструкции, использованной в предложении.
Например:
“I AM from Moscow.”
“So AM I!”
“I studied chemistry in college.”
“So DID I.” и т. д.
Эта конструкция более формальная. Чаще всего используется первая. Тем не менее, знание второй не помешает)

мда