Have you anything? или Do you have anything? (У тебя есть что-нибудь). Как будет грамматически правильно?

Грамматически правильно будет Do you have anything?
Но! В разговорной речи можно применять "Have you anything?"

Have you (got) anything ? -британский вариант .
Do you have anything ? -американский вариант .
Эккерсли был профессором филологии в Оксфорде, естественно все варианты в его учебнике - британские .
Вы вольны выбирать, какой вариант языка учить . Собственно, это разные диалекты английского языка . Разница довольно большая . Выбор за Вами .
P.S. Все мобильные приложения написаны американцами, естественно .

Если вы о современном грамотном английском, то "do you have" или "have you got". Эккерсли просто устарел немного. Раньше действительно так говорили - ставили have в начало вопроса и не заморачивались. Но раньше и "have got" в значении "иметь" не употребляли. Язык меняется).

Have — это не только "иметь", но и иметь в собственности, как когда-то раба или сейчас дом. Быть не владельцем, например по доверенности, автомобиля, а быть собственником его. Это и закреплено было когда-то в Have you...

Для смягчения смысла, памятуя о том, какой в него можно вложить, появилось Have you got...,где ...got... никакого собственного смысла не несёт — это британский "демократичный" вариант.

А Do you have... самое нейтральное грамматически правильное на все случаи жизни, но совершенно потому бесцветное...

В современном английском, вопросительная и отрицательная форма основного глагола have, как и других смысловых глаголов, образуется с помощью вспомогательного глагола do. Но иногда можно встретить образование вопросительной и отрицательной формы смыслового глагола have без вспомогательного глагола:

Have you any idea? – У тебя есть какое-нибудь предположение (идея)?
I have not a clue what is going on. – Я не имею представления о том, что происходи.

Такое употребление глагола have будет звучать консервативно и употребляется редко, что считалось нормой в британском варианте до середины XX века, в американском английском такой способ стал выходить из употребления раньше. Предпочтительными вариантами употребления в современном английском являются:

Do you have any idea? – У тебя есть какое-нибудь предположение? (формальный английский)
Have you got any idea? – У тебя есть какое-нибудь предположение? (более разговорная форма, распространена в британском варианте английского)

Источник: https://engramm.su/word_usage/have

Do you have anything?

Have you got anything?