Почему в предложениях используется не badly, а bad, хотя по логике тут должно стоять наречие?

feel в этом предложении - глагол-связка, после него нужно прилагательное

Это по русской логике. А по английской логике здесь прилагательное. Объяснение у Шамашова, что bad тут наречие - ерунда, неумная попытка подогнать под русский язык. С глаголами, которые перечислила Евгения, употребляются именно прилагательные (это касается не только bad, но и других прилагательных).
То есть англичане говорят: Она чувствует себя плохой. Мы так не говорим, но у них свои понятия. Кстати, "себя" тут по-английски тоже ни в коем-случае нельзя поставить "she feels herself" - грубая ошибка, коробящая англичан. А по нашей логике вроде надо...

Потому что bad не только прилагательное, но и наречие. Оно образует пару с наречием на -ly: badly. В таких парах наречие, образованное от прилагательного путём инверсии, т. е. без суффикса, употребляется в прямом значении, а с суффиксом - в переносном. Т. е. bad = плохо, а badly = очень, сильно. Например, He feels bad = Он чувствует себя плохо, а He needs it badly = Он в этом сильно нуждается.

Чувствую (как?) плохо. Всё правильно.

Потому что после глаголов чувств и восприятия, глаголов-связок употребляется прилагательное, а не наречие. Feel - один из них! :)

По логике да, должно быть наречие, но в английском языке есть группа глаголов, после которых наречия не употребляются: to be, to seem, to become, to look, to feel, to sound, to taste, to smell. Поэтому после них используются прилагательные