Так требует ли глагол после себя предлога или нет?

Просто-напросто разные случаи глагольного управления, вот и всё.

We met at 5 a.m - мы встретились в 5 дня.
I met with her at 5 a.m - мы встретились с ней в 5 дня.
We could meet for a drink after work - мы могли бы встретиться после работы и выпить.

И так далее. Сводить всё многообразие случаев глагольного управления к паре примеров из учебника - ошибка.

Взять, например, не так давно появившийся русский глагол "тупить". Еще лет 15-20 назад он употреблялся только в конструкциях без дополнения, но потихоньку возникло и распространилось предложное управление: тупить в монитор, тупить в телевизор,... и сейчас ТУПИТЬ можно куда угодно: в инструкцию, в окно, в тарелку. Можно также использовать беспредложное дополнение: тупить мозгами, тупить извилинами. Единственно, что переходной формы у этого глагола пока не просматривается (яркий личный характер действия).

глагол to meet, в отличие от русского аналога, может употребляться без предлога: I met her in Hawaii. Would you like to meet my ​sister? Come and meet (= be ​introduced to) my ​friend Laura. Чаще всего встречается именно без предлога.
Но может и с предлогом with: They're meeting with ​their ​advisers to ​draw up a new ​plan.
Что касается to mention, то предлог не нужен в значении “упоминать о”, но нужен в значении "кому": I'll mention ​your ​ideas to Jacinta. Это разные вещи.