Какое отношение имеет глагол "проворонить" к слову "ворона"? Почему эти слова имеют одинаковый корень?

две точки зрения:

А. Из словаря Михельсона. Ворона! (иноск.) ротозѣй. Ср. Ты околесину понесъ... Да чуть было и про то дѣло не проболтался... не толкни я тебя, ты бы такъ все ему и выложилъ... эхъ ты, ворона! П. И. Мельниковъ. Въ лѣсахъ.

В этом случае полное соответствие с басней Крылова . Ворона - проворонить, приставка ПРО придает значение "пропустить что-то, совершая действие, названное глаголом": проглядеть, прослушать.

Б. Скороговорка. "Стерегла цыплят Варвара, а ворона воровала, всех цыплят поворовала - проворонила Варвара".

Ворона не кажется глупой птицей, зато мы любим считать ворон. Может быть, Варвара их считала и поэтому проворонила?

"Ворон в небе считать" - отвлечься от реальности, заняться какой-то неактуальной задачей, прозевать важные текущие проблемы.

От фразеологизма "ворон считать" - ротозейничать.

может от басни..?

Вороны очень любят блестящие вещи. Они их тащат в гнездо. Ложки, вилки, кольца, всё что угодно. И в сельской местности у людей накрыты столы на открытом воздухе на верандах. И ещё открыты окна. Вот ворона запросто может через окно или на веранду влезть и утащить что-нибудь блестящее. Поэтому и говорят проворонил, т. е. просрал, про@бал, упустил.

Потерять что-то по собственной глупости, как ворона потеряла кусочек сыра.

Да просто всё. ВОРОНА - ВОР ОНА. ПРОВОРОНИТЬ и означает "не уберечь добро от вора".

проворонить-упустить. Ворона же рассеяная