I am positive и I am sure. Чем отличаются эти выражения по смыслу?

Тем, что первое - "Совершенно уверен", а во втором - просто "уверен/убеждён".
Ну и для второго выражения - это основное значение, а для первого - второстепенное, поэтому создаётся эффект усиления и выражение становится идиоматическим. Соответственно, если знать значение слова "positive", то можно понять вот эту шутку, построенную на игре слов:
Two atoms are walking down the street.
1st atom: "I think, I’ve lost an electron."
2nd atom: "Are you sure?"
1st atom: "Yes, I’m positive."
Два атома идут по дороге.
1-ый атом: "Кажется, я потерял один электрон. "
2-ой атом: "Ты уверен? "
1-ый атом: "Да. Абсолютно. "
(Одновременно это означает "Да. Я положительно заряжен. ")
/Когда атом теряет электрон, то его заряд становится положительным. /
Очень многие шутки в английском построены на игре слов (они называются «pun»). И понять их можно, только если знать все оттенки значений слов, используемых в данной шутке.
Вот ещё одна шутка на "атомную тему":
A neutron walks into a bar. He asks the bartender, "How much for a beer?"
The bartender smiles and says, "For you, no charge."
Нейтрон заходит в бар. Он спрашивает у бармена: "Сколько за пиво? "
Бармен улыбается и отвечает: "Для тебя - бесплатно. "
(Второе значение - "никакого заряда".)

1.) "Положительно так" - раньше и у нас так говорили. 2.) Перевод ближе к "безошибочно".

Только я нифига в этом не уверена =)