правильно ли составлено предложение - what did you doing at this time yesterday?

разница в том, что did you doing в англ. языке не существует.

What were you doing at this time yesterday?

Past Simple
Обычное время, употребляется для сообщения, что нечто произошло в прошлом (часто есть указание, когда именно - в прошлом году, месяце, вчера, 3 часа назад, в 15-45 и т. п.).
Образование:

+ V2/-ed (утвердительная форма)
- did not V (отрицательная форма)
? Did...V...?(вопросительная форма)

Поясняю: V2 - вторая форма неправильных глаголов, -ed - окончание, которое приобретают в данном времени все правильные глаголы.
did -вспомогательный глагол, он в отрицании стоит с частицей not,а в вопросе начинает предложение, становясь ДО глагола.
Внимание: там, где употреблено did (то есть в вопросе и отрицании) глагол уже не ставится в свою вторую форму. Просто берется его инфинитив (V).

Другое время, о котором Вы говорите, это Past Continuous.
Употребляется, чтобы подчеркнуть продолженность действия в прошлом (со стольки-то до стольки-то, или столько-то часов подряд).

Образование:
+ ..was/were Ving
- was/were not Ving
? Was/Were....Ving?

Поясняю: здесь просто берется глагол V и к нему добавляется окончание -ing. В любом виде предложения (+,-,) есть вспомогательный глагол (was/were). В вопросе он идет на первое место в предложении.

Вывод: все зависит от того, что Вы хотите сказать.
Если просто действие в прошлом, то
Did you do...?

Если же продолженность действия, то
Were you doing...?

Надеюсь, понятно объяснила :)

после DID всегда употребляется инфинитив без TO, например : Did you like it?