Почему одна и та же страна Венгрия звучит так по разному на разных языках?

Причин две:
1) Другие народы слегка искажали названия, искажённые названия передавались третьим народам, которые тоже их искажали, искажения накапливались со временем.
Например, большинство названий венгров произошло от угров - древней группы племён.
2) Сами народы меняли свои названия. Например, венгры стали называть себя мадьярами по имени самого могущественного из венгерских племён.

Название любой страны тоже будет звучать по-разному, языки то разные..

Зависит от времени вхождения страны в язык
и от языка, через который заимствовали название.

Любая страна на разных языках звучит по-разному.. Возьмите хотя бы Россию!

Почему тогда не удивляются, что Россия звучит по-разному: то Раша, то Ру, то Московия..?

Потому, что все страны на разных языках звучат по разному

Польша, Поланд, Полония, Лехистан...

Многие страны названы по имени народа, с которым впервые столкнулись те или иные иностранцы. Например, латыши Россию называют "Криэвия" - по названию племени кривичей, с которым пересекались древние балты. Такие же корни имеет эстонское название "Венемаа" - "земля венов" (очевино, вендов или венедов, древних славянских племён). Сами венгры называют Россию "Оросорсаг" - "земля русских", поскольку "орос" - искажённое через тюркские языки "рус (кий);

Во многих случаях - историческая традиция. Названия России во многих языках звучат так, что никогда бы не подумал, что речь идет именно о ней.
Так обстоят дела со многими странами.
Например поляки, исторически так сложилось, Италию называют "Włochy", а венгры ее называют "Olaszország"..