Склоняется ли в русском языке итальянская фамилия Фонтана?

Наиболее сложную картину представляют собой фамилии с конечным а. В отличие от предыдущих случаев, здесь существенное значение имеет, следует ли а после гласной или после согласной, падает ли на эту гласную ударение и (в определенных случаях) какого происхождения фамилия.
Все фамилии, кончающиеся на а, которому предшествуют гласные (чаще всего у или и), несклоняемы: Галуа, Моруа, Делакруа, Моравиа, Эриа, Эредиа, Гулиа.
Все фамилии, кончающиеся на неударное а после согласных, склоняются по первому склонению: Рибера — Риберы, Рибере, Риберу, Риберой, Сенека — Сенеки и т. д.; так же склоняются Кафка, Спиноза, Сметана, Петрарка, Куросава, Глинка, Дейнека, Гулыга, Олеша, Нагнибеда, Окуджава и др. Все такие фамилии, независимо от происхождения, являются морфологически членимыми в русском языке, т. е. в них выделяется окончание -а.
Среди фамилий с ударным á после согласных есть как морфологически членимые, так и нечленимые, т. е. несклоняемые.
Несклоняемы фамилии французского происхождения: Дюма, Тома, Дега, Люка, Ферма, Гамарра, Петипа и др.
Фамилии иного происхождения (славянские, из восточных языков) склоняются по первому склонению, т. е. в них вычленяется ударное окончание -а: Митта — Митты, Митте, Митту, Миттой; сюда относятся: Сковорода, Кочерга, Кваша, Цадаса, Хамза и др.

Поскольку в фамилии Фонтана ударение, по-видимому, падает на последний слог, и это фамилия, опять-таки по-видимому, французского происхождения, то эта фамилия не склоняется, так же как и вышеупомянутые фамилии Дюма, Тома, Дега, Люка, Ферма, Гамарра, Петипа.

Иностранные фамилии в русском языке не склоняются.

у мужчин да, к женщин нет--это аксиома, о которой говорят в школе

это зависит от рода носителя этой и подобной фамилий

Конечно! Как у Лучио Фонтаны, Марадоны, Батистуты и тд.