Почему на дверях поездов метро в Москве текст : "Do not lean on door", напечатан без артикля?!

Экономия места. В надписях на вывесках, табличках и т. п. артикли часто опускаются.

Потому что это информационная надпись. На знаках, табличках и т. д. для краткости опускают все неинформативное, в том числе артикли, вспомогательные глаголы.
Road closed
Yield to bus
Hold handrail
Dogs allowed

грамотности не хватило

Для выделения ключевых слов.

"Не влезай, убьет!" - читается гораздо быстрее, понятнее и лаконичнее, чем "Не влезай, за этим знаком опасность, которая может убить". Да и на краске экономия.

Артикль в студии Артемия Лебедева выпал из текста на пол и затерялся под тумбочкой.

потому что вообще, а не конкретно на ЭТУ дверь )))) просто : не прислоняться к двери! не именно к ЭТОЙ данной, а вообще. И правильно выше Вам ответили: экономия места в тексте на надписях, только смысл основной

Hello, I've seen many signs (for instance, in subway) saying "Do not lean on door". Why is it "on door", not "on the door"? I thought "door" was always used with "the". Would "on the door" in such a context sound wrong?

- "Do not lean on door" should really have "the" before "door". It can be omitted in cases where there is not much space for the message, but otherwise an omission is incorrect.
- Signs often have reduced grammar, as do newspaper headlines, captions of photographs, and so on. They may omit articles and auxiliary verbs, for example. We're so used to this that it might actually sound strange to use a complete sentence in such situations.