Another всегда пишется одним словом, артикль an стал частью слова.
Прилагательное another обозначает «дополнительный, еще один такой же» (в количественном значении) и используется с исчисляемыми существительными в единственном числе:
Would you like another cup of tea? – Хотите еще одну чашечку чая? (После того, как гость уже выпил одну или несколько)
Кроме того, another может значить «другой, отличающийся от этого, еще один похожий» (в качественном значении):
This pen is bad. Give me another (one). – Эта ручка плохая. Дайте мне другую.
If this book isn’t interesting, you can take another (one). – Если эта книга неинтересная, вы можете взять другую.
В обоих значениях another подразумевает, что у нас уже есть что-то, а мы хотим еще одно, в добавок к тому, что у нас есть.
Other обозначает «другой» в значении «не этот», «второй», «оставшийся» или «другие» в значении «не эти», «остальные». Other может использоваться с существительными в единственном и множественном числе. Часто перед other ставится определенный артикль the (когда мы говорим о чем-то конкретном):
I met two girls yesterday. One girl was talkative but the other was shy. – Я познакомилась с двумя девочками вчера. Одна девочка была разговорчивая, а вторая (другая) – застенчивая.
