Почему используется another в ...(подробности внутри)

Another часто имеет значение "ещё один (какой-то)".
Если в качестве дополнения используется ещё один глагол (кроме того, что в роли сказуемого) - вот такой тут смысл.

Другой БЫЛ - talked.)

Как это не было? Были - talked и apologized.
Объект по определению "прилагается" к глаголу. Потому и сказано: когда объектом является другой глагол... Другой помимо того, к которому он присоединяется.

Потому, что another - это ещё какой-нибудь один (кроме смыслового) в неличной форме (герундий).

an( )other verb - один из огромного количества других глаголов.
а просто a verb - это просто один из огромного количества глаголов.

Думаю, что вы совершенно правы. В первой фразе дополнением являлось существительное (the problem). Другой случай, если дополнение - это (какой-то) глагол... Поэтому спокойно пишем a verb.
Откуда там взялось another? Да просто небрежность автора.

Неопределенный артикль an пишется слитно с other, образуя другое местоимение — another.

Оно употребляется с существительными только в единственном числе, так как неопределенный артикль a / an всегда указывает на то, что объект один. Это местоимение может иметь два оттенка значения: другой, различный, иной (по качеству). Например:

This chair is broken. Take another one. — Этот стул сломан. Возьми другой.
Idon’t like this jacket. Show me another. — Мне не нравится этот пиджак. Покажите мне другой. - другой, еще один (по количеству).
Читайте также: В чем разница между This и That?

когда мы используем another, other, the other

Например, вы можете сказать в кафе:

Can I have another coffee? — Можно мне еще один кофе?
She asked me question, then another. — Она задала мне вопрос, потом еще один.
Как видно из примеров, очень часто после another используется местоимение one.

Оно служит как бы заменителем существительного, которое использовалось ранее, чтоб избежать повторения.

Но помните, что есть смысл использовать one только в том случае, если из контекста ясно, о чем именно идет речь.

Например:

Вас также может заинтересовать: Слова-связки в английском языке

I have already read this book. Give me another one, please. (one = book) – Я уже читал эту книгу. Дайте мне, пожалуйста, другую (последующую, еще одну).

В этом случае посл