Почему используется "Let him..", а не "Let he"?

Слово LET в английском языке это вовсе на руская частица ПУСТЬ, а полноправный глагол со значением ПОЗВОЛЯТЬ, РАЗРЕШАТЬ. Если после него стоит в качестве дополнения личное местоимение, то выбирается как раз местоимение в косвенном падеже (me, him, her, it, us, you, them).
Личные формы местоимений в прямом падеже используются в качестве подлежащего. А предложение "Let him see Ben's file" стоит в форме повелительного наклонения, которое подлежащего не имеет. Буквально оно означает: "Позвольте ему посмотреть бэнову папку".
Если же Вы хотите использовать с глаголом LET слово HE, то HE должно тогда быть подлежащим и стоять перед глаголом (а глагол, кстати, приобретет еще и окончание или, например, будет употреблен в страдательном залоге) .
"He lets anyboby see Ben's file" - "Он позволяет кому-угодно смотреть бэнову папку".
"He is not let see Bens's file" - "Ему не позволено смотреть бэнову папку". (Надеюсь, у Вас не возникнет вопрос, почему в страдательном залоге подлежащее на русский язык переводится дополнением?)

Вы перевели английское предложение на русский, а потом ссылаетесь на русский перевод и требуете, чтобы английская грамматика совпадала с русской?!

Точно потому, как русские говорят: "Дай ему отдохнуть", а почти никогда "Дай он отдохнет".

Тем более такого понятия как косвенный падеж нет даже в русском не только в английском

потому что, это скорее переводится как "позволь/разреши/дай Ему посмотреть папку Бэна"

Let him-на сколько я знаю, переводится как "позволь ЕМУ"))) Отсюда и Him)))
Бывают предложения без подлежащего)))