Как правильно говорить умер или

- Умерла Клавдия Ивановна! - сообщил заказчик.
- Ну, царствие небесное, - согласился Безенчук, - преставилась, зна-
чит, старушка... Старушки, они всегда преставляются... Или богу душу от-
дают - это смотря какая старушка. Ваша, например, маленькая и в теле, -
значит, "преставилась"... А, например, которая покрупнее, да похудее -
та, считается, "богу душу отдает"...,
- То есть как это считается? У кого это считается?
- У нас и считается. У мастеров... Вот вы, например, мужчина видный,
возвышенного роста, хотя и худой. Вы, считается, ежели не дай бог помре-
те, что "в ящик сыграли". А который человек торговый, бывшей купеческой
гильдии, тот, значит, "приказал долго жить". А если кто чином поменьше,
дворник, например, или кто из крестьян, про того говорят - "перекинулся"
или "ноги протянул". Но самые могучие когда помирают, железнодорожные
кондуктора или из начальства кто, то считается, что "дуба дают". Так про
них и говорят: "А наш-то, слышали, дуба дал"...
Потрясенный этой, несколько странной классификацией человеческих
смертей, Ипполит Матвеевич спросил:
- Ну, а когда ты помрешь, как про тебя мастера скажут?
- Я человек маленький. Скажут "гигнулся Безенчук". А больше ничего не
скажут.

умер
(а помер - деревенское)

Помер, усоп, отмаялся - по старому
сейчас умер

Умер, скончался;
Помер, усоп, отдал богу душу, приказал долго жить, преставился, почил в бозе,
Сыграл в ящик, протянул ноги, дуба дал, отыгрался, сдох, сгинул...

Умер - слово нейтральное, широко употребляется в речи и в документах.
Помер - более просторечное слово, в документах не встречается. В речи иногда даже может иметь несколько пренебрежительный характер. "Помер - туда ему и дорога!"
Есть еще варианты.
Если человек умер во время боевых действий или в результате несчастного случая, стихийного бедствия и т. д.. то о нем часто говорят/пишут - погиб.
В некрологах, на торжественных мероприятиях обычно вместо слова "умер" используют "скончался", можно сказать, что у этого слова несколько более возвышенный смысловой оттенок:
"После тяжелой продолжительной болезни на 85-м году жизни скончался выдающийся государственный деятель Владимир Владимирович...".

Это не отличие слов. Это многогранность русского языка.
Умер, помер, усоп, представился, отмучился, сдох.

Викисловарь

христианам положено говорить "преставился" или "усоп", а атеисты говорят - умер, спросите у священника...