Являются ли в этом случае слова величье и безграничье архаизмами? А словами просторечия?

Величие, безграничие и т. п..., безусловно, устаревшие слова.
Однако применимые и в современной жизни в книжном и поэтическом
стилях русского языка.

http://wordsonline.ru/dicts/obsolete.html?lo=В

В просторечии такого высокого слога никогда не было.)
Это устаревшие книжно-поэтические слова.

Это, скорее, из церковнославянского языка. Мягкий знак огрубляет слово и укорачивает его. Что для древности вполне нормально. В древности жизнь была жестокой и примитивной, говорили грубо и коротко.

)

Ни то, ни другое слово не являются архаизмами. При этом слово "величье" - это слово, которое относится к высокому стилю и поэтому употребляется нечасто. Безграничье вообще новое слово. Безграничье - имя собственное и поэтому к высокому стилю не относится. Обычно появление мягкого знака после "ч" регулируется специальными правилами (например, существительное женского рода: ночь, печь, речь) поскольку "ч" всегда мягкий звук. Но в старину он был ещё мягче. Данью мягкости "ч" в то время является правило "ча" и "чу" писать через "а" и "у" соответственно. Поэтому появление мягкого знака указывает на относительную новизну слова. Конечно, слово может быть и новым и успеть стать архаичным как, например, "пейджер". Но пейджер не относится к высокому стилю. А "величье" относится. Приведу отрывок одной из од М. В. Ломоносова, автора теории стилей. Он их обозначил, осмыслил и широко употреблял. Обратите внимание на пропущенные гласные и замену "и" на мягкие знаки.
Престань сомненьем колебаться,
Смятенный дух мой, и поверь:
Не ложны то мечтанья зрятся,
Но истинно Петрова Дщерь
Если будете внимательно читать оды отца русской науки, найдёте ещё множество таких примеров.