Склоняется ли фамилия Тесла?

Да, фамилия нормативно склоняется.

Хотя она и не славянская в том понимании, какое вкладывается обычно при формулировке этого правила. Славянскими по происхождению считаются фамилии на -ски, -ин, -ев и т. п., т. е. те, которые можно сопоставить с аналогичными русскими, восходящими к притяжательным прилагательным, - и которые поэтому допускают склонение по типу прилагательных (адъективное).

Фамилия Тесла к таковым не относится. Хотя по происхождению она сербская, но не восходит к притяжательным формам и поэтому на неё не распространяются упомянутые рекомендации по парадигме склонения по типу прилагательных. Тем не менее, все фамилии, оканчивающиеся на неударное А, перед которой идет согласная, склоняются по типу существительных женского (оно же - первое школьное и второе академическое) склонения. В том чиcле и Тесла: Тесла, Теслы, Тесле, Теслу, Теслой, (о) Тесле.

Традиция не склонять фамилию идет от ошибочного представления, что эта фамилия - французская и имеет ударение на последний слог. Для таких фамилий сделана оговорка о возможности несклонения, объясняемая более историческими причинами и традициями, чем логикой. Но, повторю, к фамилии Тесла это изъятие из общего правила неприменимо.

Фамилии женского рода (Пятница, Тесла) у мужчин и женщин склоняются по правилам склонения существительных женского рода, во множественном числе фамилия имеет форму именительного падежа у мужчин и не склоняется по падежам.

Да, склоняется.

Теслы, Теслу. А вообще, фамилия нерусская, и на родине врядли склоняется.