Вставьте фразу : " I live in New York now,but I ___(live) in Mexico for many years.

HAVE LIVED:
I live in New York now, but I have lived in Mexico for many years.

Здесь использовано время Present Perfect. Это означает, что человек прожил в Мексике некоторое время, но связь с настоящим временем до сих пор ощущается. Действие полностью завершено (сейчас он в Нью-Йорке), но для говорящего оно всё ещё связано с восприятием настоящего (накоплены впечатления, опыт, есть друзья).
(то есть это не в "глубоком прошлом", а свежо в памяти и связано с действием в настоящем - жизнью в Н. Й.)

Lived, потому что речь о завершенном периоде времени. Если бы до сих пор жил там, тогда has lived.

Lived. Потому что нет привязки к настоящему моменту. "Свежо в памяти" тут ни при чём.
Подобный пример из Мерфи:
Jack lives in Los Angeles. He has lived there for seven years.
Jack lived in New York for ten years. Now he lives in Los Angeles.
И объяснение: We use the present perfect for a PERIOD OF TIME that continues UNTIL NOW.

Со школы нам вбивают в голову правила только на основе формальных указателей, но при этом забывают о логике. С другой стороны, в английском есть свои странности, которые становятся понятными только после длительного изучения текстов с реальным контекстом.
Во-первых, человек не может жить одновременно в двух городах. Иначе зачем нужен контраст в виде противительного союза but? Первый город - место нынешнего проживания, а второй - воспоминания о прошлом (жизнь в Мексике уже не актуальна). Во-первых, I live in NY now - констатация того факта, что человек живет в Нью-Йорке постоянно уже какое-то время (в отличие от временного проживания - I am living in NY now). В-третьих, намного логичнее было бы сказать: I lived in Mexico for many years, and now I live in NY. Или: I used to live in Mexico for many years, and now I live in NY. Иными словами, упомянуть переезд из одной страны в другую, иначе получается: Сейчас живу в Нью-Йорке, но много лет живу в Мексике (теоретически возможно, если он в течение ряда лет проживает какой-то промежуток времени в каждом из указанных городов, но маловероятно). Если опыт проживания, новые знакомства и проекты, которыми говорящий занимался в недавнем прошлом, для него по-прежнему актуальны (как в положительном, так и в отрицательном смысле), тогда Present Perfect уместен. В русском такая разница тоже ощущается. Например, Я прожил в Париже 5 лет, но так ни с кем не познакомился (к моменту речи подытоживается сам период - I have lived) vs. Я живу в Париже уже 5 лет, воспитываю детей и веду успешный бизнес (I have been living - живу с момента переезда и никуда переезжать не собираюсь). Однако, как верно подмечено пользователем "Леди Лео Ясноокая", если говорящий ощущает неразрывную связь с прошлым, то возможен перфект. Пример (из реальной речи): I live in Hackensack now, but have lived in Maywood all of my life. Обращает на себя внимание акцентирующая фраза ALL OF MY LIFE. А вот пример с другим оттенком: I live in Wraysbury now but have lived in quite a few places over the years including Spain (Natalie Soper, Area Supervisor, homeinstead.co.uk - за время постоянного проживания в одном городе УСПЕЛА ПОБЫВАТЬ и в других городах).
Вот еще примеры: I live in London now but I lived in France for five years (сайт BBC). I was born in Trenton and I live in Skillman now but I lived in Princeton for over 18 years (Vicki Liberatori, Princeton's Summer Shakespeare Festival Director). I live in Maine now, but I lived in Boston for years, and for me, it is my second country (New York Times). I live in Phoenix now, but I lived in New Orleans for 4 years, and I'm thinking the humidity can't be any worse than New Orleans!
Помимо классического Мерфи стоит посмотреть пособия, написанные другими преподавателями со стажем. Например, Martin Hewings, Advanced Grammar in Use, и Michael Vince, Advanced Language Practice. У последнего в разделе 4 [Tense consolidation: present perfect] есть отличный пример на разницу между двумя видовременными формами в зависимости от отношения говорящего к ситуации (the mental attitude of the speaker). В частности даже в рамках одной и той же ситуации могут быть использованы обе формы. Например 1: I've left my wallet in the car. I'm going back to get it (говорящий собирается вернуться к машине и забрать ключи, потому как дистанция между оставленными в машине ключами и самой машиной ощущается не так сильно). Пример 2: I left my wallet in the car. I'm going back to get it (человек далеко ушел от машины в лес, и связь между оставленными ключами и моментом упоминания о них растянута во времени, хотя день тот же).

HAS LIVED потому что в течении многих лет