Почему пишется ай хэв ту гоу а не ай маст ту гоу? Ведь должен это маст а не хэв?

Must и have to похожи, но отличаются оттенками смысла.

Have to - objective, т. е. это то, что нужно делать, независимо от того: хочешь или нет. Это правила, законы, обязательства, сложившиеся обстоятельства, существующие извне и придуманные не тобой. Например, на входе в здание ты должен/нужно/придется предъявить пропуск.

Must - subjective, т. е. это то, что ты считаешь ты должен делать или что естественно в какой-либо ситуации. Например, я должен/мне нужно/очень надо посмотреть этот фильм. Закона такого нет, никто не заставляет. Это долженстование исходит от тебя. Выражение "маст хэв" из этой серии.

Глагол must вспомогательный. После must никогда не употребляется to. Такое правило для вспомогательных глаголов.

В конструкции "have to" глагол have не является вспомогательным, ему самому нужно вспоможение ( в виде глагола do) для построения отрицательных форм или вопросов.
Глагол have работает в паре с глаголом в инфинитивной форме. Но для удобства учат "have to", видимо, чтобы не было путаницы. Поэтому после have - всегда употребляется to.

Так - не пишется.)
После must не бывает to.
I have to - мне надо, приходится
I must - я должен, обязан

В современном языке для выражения долженствования в основном используется have to.

я должен пойти I must go это спокойное долженствование мне ПРИДЕТСЯ пойти I have to go это вынужденное действие

Это вежливо просто.

"Мы просим вас убраться", а не сразу "Пошли нахер" ))

I have to go - "мне нужно/следует/необходимо идти"
I must go - "Я должен идти"

Да