Почему нельзя говорить "He is the doctor"?

This is my friend, he a doctor.
This is my friend, he the doctor who treated my brother.

He is the doctor = Он тот самый доктор.
А вообще доктор, а не певец - нужен неопределенный артикль;
т.. е. один из многих докторов на планете.

Почему нельзя? Можно, но не всегда.

- Who's the doctor here?
- He's the doctor.

можно.... только нужно понимать различие между the doctor и a doctor...

Можно, но только если имеется ввиду конкретный доктор. Аналог "Он тот самый доктор", о котором все знают или шла речь ранее, не профессия в целом.

Артикль (артикул, показатель категории) является определителем - частью речи, связанной с именем существительным, именем собственным, наречием или прилагательным.
При использовании с именем существительным он определяет:
- один, какой-то объект (артикль a/an) из однородного массива исчисляемых объектов: An elephant ran up to us. (К нам подбежал /какой-то/ слон);
- несколько любых объектов (отсутствие артикля) из однородного массива объектов: Girls like dressing up. (Девочки /любые/ любят наряжаться);
- один конкретный объект из неоднородного либо однородного массива (артикль the): The town was quiet. (Городок /тот, о котором речь/ был тих.);
- несколько известных однородных объектов из неоднородного массива (артикль the): The boys ran away but the girls stayed. (Мальчики /те, которые там были/ убежали, а девочки /те, которые там были/ остались.).
При использовании определителя в виде артикля, говорящий ориентируется на своё понимание:
- является ли объект (или объекты) неизвестными для собеседника (неопределённый артикль): an elephant, girls;
- или слушатель знает, о каком объекте (или объектах) идёт речь (определённый артикль): the town, the girls;
- что этот объект общеизвестен (определённый артикль): the moon.
Артикль может также использоваться в случае, когда говорящий хочет намекнуть:
- что собеседник не знает, о каком или каких объектах идёт речь (неопределённый артикль). It was a girl, you don't know her. Это была девушка, ты её не знаешь.
- либо на то, что слушатель должен знать, о каком или каких объектах ему сообщается (определённый артикль). It was the neighbour, you know who I'm talking about. Это был сосед, ты знаешь, о ком я говорю.
При использовании с существительным, неопределённый артикль имеет значение: один, один из, один какой-то, любой, каждый, некий. Определённый (определяющий) артикль соответствует в русском языке указательным местоимениям: этот, эта, это, эти, тот, та, те, то.

Дело не в конкретном докторе. Это тупое школьное объяснение артиклей. Здесь под доктором понимается не какой то определенный человек-врач, а само понятие/явление доктора, т. е. специалиста в области медицины, который лечит людей.

Он это доктор? ) Не очень получается

Предлог "а" означает "типа", а the - "конкретно", и тут лучше звучит "он типа доктор".

Если имеется в виду конкретная специализация (терапевт, хирург), то можно сказать. Но обычно скажут специализацию. Он - хирург. А так ...нет запретов Низзя! Нет смысла выделять человека среди других докторов. Даже когда говрится Он- хороший врач. Он один из хороших врачей. И только для лучшего идёт the.

докторов много же

Is - это.