В чём отличия apologize, sorry, forgive

Разница в значении и предложном управлении. Apologize и be sorry означают "просить прощения", а forgive - прощать кого-либо. В этом смысле они центробежные, а вот если рассматривать выражение forgive me, то их объединяет желание субъекта поправить сложившееся положение или восстановить испорченные отношения. Когда, какой употреблять, зависит от ситуации.
Apologize TO somebody (ПЕРЕД кем-либо) FOR something (ЗА что-либо), тогда как sorry ABOUT/FOR doing something. Стилистически глагол apologize характерен для более официальной устной и книжной речи (приносить извинения) в отличие от обиходного sorry.
Типичные обороты с apologize.
I must apologize for my son's behavior - he isn't usually this moody. The US has apologized to Britain for the accident that cost nine British lives. She apologized profusely for being late.
Типичные обороты с sorry.
I'm sorry, I didn't mean to upset you.
I'm sorry (that) I lost my temper.
I'm very/awfully/really/so/terribly/extremely sorry, I shouldn't have said that.
* Awfully sorry считается более официальным и устаревающим выражением в этом ряду. I'm awfully sorry to give you this trouble at a time like this.
I'm sorry to have kept you waiting, ladies and gentlemen.
Если кому-то наступили на ногу, то можно иногда услышать I beg your pardon или I do beg your pardon, однако такой оборот сильно устарел (чаще говорят просто Sorry). В подобных случаях американцы говорят Excuse me (чуть более вежливо).
Эти два способа характерные для случаев, когда говорящему неловко или совестно за какие-либо проступки или сложившуюся ситуацию.
В словаре Longman Language Activator выражение FORGIVE ME трактуется так: used when you have dome something wrong or have upset someone, or when you are going to say or ask something that might seem rude or offensive.
Примеры.
Forgive me, I didn't mean to offend you. Forgive me for asking, but how old are you? Forgive me for saying this, but you really don't look well at all.
Говорящий в этом случае просит прощения заранее за то, что его слова могут показаться адресату грубыми, чересчур откровенными или непристойными. Вспомните строки из песни Брайана Адамса "Please, Forgive me":
Please forgive me, I know not what I do
Please forgive me, I can't stop loving you
Please forgive me, if I need you like I do
Please believe me, every word I say is true
Forgive - единственный из этого ряда глагол, который может одновременно управлять двумя прямыми дополнениями. Например, I find it hard to forgive him his unkindness to Anna. С ним также может употребляться и предлог for: I don't think she'll ever forgive me for telling Richard her secret.

извинить
извините
простить

а что общего?

I' m so sorry and want to apilogize please forgive me.

В буквах, да и первое и третье глаголы, а второе прилагательное
Причем первый глагол непереходный, а последний переходный, надо же)