Почему мы пишем "I am sorry" в английском языке именно таким образом?

Sorry не глагол, а прилагательное, поэтому как раз и нужен глагол-связка am.

Sorry - прилагательное (сожалеющий).
Многие английские фразы с прилагательными переводятся на русский язык глаголом: I am tired - я устал, I am scared - я боюсь, I am late - я опоздал и так далее.

"Я - в печали"

От слова "печаль", то есть, "sorrow"

https://www.etymonline.com/word/sorry

Глаголы-связки

Глаголы, указывающие, чем или каким является подлежащее, выражающие существование некоторого качества, либо состояние, характерное для подлежащего (be, feel, go, lie, look, make, mean, seem, smell, sound, stand, stay, taste…); глаголы, обозначающие сохранение состояния и качества субъекта (remain, continue, hold, keep, rest…); глаголы, обозначающие изменение состояния или качества (become, come, fall, get, go, grow, make, turn…).

Их объектом является существительное или прилагательное, но не наречие.
Для проверки, является ли глагол связкой, следует заменить его на глагол to be. Если предложение сохраняет основной смысл, это – глагол-связка.

The meal grew cold (is cold). Еда остыла. The plant grew fast (action). Цветок быстро рос. The T-shirt looked dirty (was dirty). Футболка выглядела грязной. She looked at him angrily (action). Она сердито смотрела на него. Rita seems happy (is happy). Рита выглядит счастливой. Spencer was our captain. Спенсер был нашим капитаном. The cake tastes delicious (is delicious). У торта великолепный вкус. She carefully tasted the cake (action). Она осторожно попробовала пирог. He became blind at the age of four (was blind). Он ослеп в возрасте четырёх лет. He was a clever guy. Он был умным парнем. It sounds nice (is nice). Звучит прекрасно. He stayed silent (was silent). Он оставался молчащим. The house is regularly painted every spring. Дом регулярно красят каждую весну. (действие. Страдательный залог). The house is painted blue. (is blue – состояние. Глагол-связка).
Могут иметь вспомогательные глаголы: can, may, should, will, have, might…
Практика использования прилагательного вместо наречия нередко распространяется и на другие глаголы, когда нет воздействия одного объекта на другой. He behaved strange. (He was strange). Love me tender, love me sweet...

Всегда считала, что это- я виноват

Sorry - прилагательное "сожалеющий". Уже то, что оно стоит сразу после BE, указывает на то, что это слово никак не может быть глаголом. Исключений тут не бывает. Если речь, конечно, о первой форме.

Извините меня будет Excuse me!
А извинятся будет make appologize

Это прилагательное. В частности обратите внимание и сравните -- ready (готов(ый) к труду и oбoроне, silly goofy (глупый) -- sorry -- тоже относится к категории состояний -- испытывающий чувство вины... просто по русски одним словом сложнее выразить, поэтому кажется что это глагол

"I sorry" как-то не очень звучало бы)

Много раз замечала у изучающих язык стремление зацепиться за какую-нибудь ерунду и выяснять почему так, а не эдак. Им кажется, что выяснив они будут лучше знать язык. Пустая трата времени имхо.
Учите язык смысловыми блоками.
Есть выражение to be sorry, вот его и используйте.
I am sorry, we are sorry
You are sorry
He/she is sorry , they are sorry

Потому что ай и эм употребляется.