Модальные глаголы. Сколько их всего? в английском

9 (can, could, may, might, will, would, shall, should, must)
+ в некоторых источниках ought to
Есть "полумодальные" (semi-modal verbs). Вот с ними много вариантов)
Это эквиваленты модальных (be able to, have to), которые используются для образования форм, которых нет у модальных (будущего/прошедшего времени). Но в настоящем have to имеет свой оттенок значения, долженствование в силу обстоятельств.
Есть глаголы, котрые могут употребляться как модальные, а могут как обычные (need, dare). Сюда же некоторые относят used to и going to.

dictionary.cambridge.org/ru/%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%B1%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F-%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/modality-forms

Информация к размышлению на поставленный вопрос.
Использование глаголов shall/will с инфинитивом смыслового глагола.
I. The Future Tense. Отстранённость, простая будущность. (shall/will - вспомогательные глаголы).
1. Условные предложения 1 типа. If you go there, you will see him. Если пойдёшь туда, ты его увидишь.
2. Автоматически наступающие события. Tomorrow at 5 o’clock I will be flying to Paris. Завтра в пять часов я буду лететь в Париж.
3. Независимые от нас события. We will have exams in June. В июне у нас будут экзамены.
4. Прогнозы, гадания. It will rain tomorrow. Завтра будет дождь. You will marry a rich man. Ты выйдешь замуж за богатого мужчину.
5. Предполагаемые события. Perhaps, your mother will change her mind? Может, ваша мама передумает?
6. Предполагаемые события, исходя из предыдущего опыта. And then he will say goodbye and you will never see him again. А потом он попрощается, и вы его уже больше никогда не увидите.
7. Для обозначения обычного, повторяющегося действия в настоящем (наряду с would). My dad will get up at around seven o'clock. Папа обычно встаёт в семь часов.
8. В дополнительных предложениях с if в значении «ли». I don’t know if he will come. Не знаю, придёт ли он.
9. Страдательный залог. Tomorrow the children will be taken to the zoo. Завтра детей возьмут в зоопарк.
II. Модальность, эмоции (shall/will – как модальные глаголы).
1. Обещания. I will buy you a bike! Я куплю тебе велик!
2. Приказы. You shall/will do it at once! Ты сделаешь это немедленно!
3. Угрозы. You shall/will regret it! Ты об этом пожалеешь!
4. Намерение. I will go to the cinema. Пойду в кино.
5. Желание. I won’t do it! Не стану я этого делать!
6. На месте принятое решение. Oh, I will go and buy it, too! Ой, я тоже пойду и куплю это!
7. Постановления, уставы. The company shall be called Microsoft. Компания будет называться Микрософт.
8. Предложения. Shall we go to the cinema? Не пойти ли нам в кино?
9. Ожидание приказа, ответа. Shall I close the window? Закрыть окно?
10. Вежливое приглашение. Will you take the seat, please? Не изволите ли сесть, пожалуйста? If you will come this way, please. Не пройдёте ли сюда?

Нет четкого кол-ва. Это язык, а не математика. Я видал таблицы со 170 глаголами.

be able to это глагол и прилагательное и предлог, be allowed to глагол и причастие и предлог

Модальные - после которых не нужен to.
Can, may, must

Я точно тебе не скажу, но модальные глаголы те, которые идут вместе с обычными, но в виде "тебе следует, надо, желательно, должен" и тд. А лучше поискать в учебнике за 9 класс. Где-то на 60- 90 странице. Там ещё на обложке зелёной что-то в роде британского гвардейца стоит