Почему "It's obvious", а не "It's obviously"?

Чтобы понять это, надо перевести дословно, т. е. с точки зрения английской логики.
It's obvious = Это является очевидным.
Здесь obvious относится не к глаголу be, а к местоимению it. Существительные и заменяющие их местоимения описываются прилагательными.
Да и если углубиться в русский вариант, то "очевидно" в данном случае не наречие, а краткое прилагательное. Оно просто по форме совпадает с одноимённым наречием.
У них и смысл разный:
Очевидно (краткое прилагательное) = несомненно.
Очевидно (наречие) = вероятно.

Потому что obvious относится к it, а obviously -- к is.

It's obvious he's smart.
It's obviously a cat.

По русской логике - да. Но по английской -- если есть it is -- то далее следует именно прилагательное, а не наречие (как у нас). Наречие в английском используется намного реже -- только для обозначения глаголов, то есть уточняя как происходит глагол - -вы бежите быстро - медленно, работаете эффективно или нет -- тогда добавляется суффикс -ly. Но если нет глагола и есть описание чего-то ---это круто -- that's cool (а не coolly)/ -- ориентируйтесь на присутствие be -- если оно есть, то наречие не употребляется

Это одна из разниц между русским некоторыми европейскими языками, в т. ч. английским. В данной конструкции используется прилагательное.

To tell the truth, I don't know why.
My advice is, don't try to find logic in natural languages, don't waste your time.