Почему многие японские и корейские слова похожи по произношению?

Не знаю на счёт корейского, но в японском ОЧЕНЬ много англицизмов, часто сильно искажённых из-за особенности фонетики, но тем не менее прослеживающихся. Возможно, они похожи, потому что взяты из одного языка...

Потому что вы не можете в них детали различить.

Потому что и те, и другие взяты из китайского.

Ничего похожего между ними нет. Попробуйте привести подобные примеры. Некоторые слова заимствованы из китайского, однако их схожесть довольно условна.

Потому что они родственники.

Так они и внешне похожи

В средневековье Корея и Япония подвергались культурному влиянию Китая.
Поэтому в корейском и японском языках много китайских слов, например:

약속 («yak-sok») и 約束 («yaku-soku») – обещание;

관계 («gwan-gye») и 関係 («kan-kei») – отношения;

인간 («in-gan») и 人間 («nin-gen») – человек;

미래 («mi-lae») и 未来 («mi-rai») – будущее;

악마 («ag-ma») и 悪魔 («aku-ma») – демон;

묵시록 («mug-si-log») и 黙示録 («moku-shi-roku») – апокалипсис

C конца XIX века до конца Второй мировой войны Корея была оккупирована Японией. Именно в этот период в корейском языке появились слова, которые в то время использовались в японском, например:

전화 («jeon-hwa») и 電話 («den-wa») – телефон;

빵 («bbang») и パン («pan») - хлеб.

После 1945 года в оба языка пришло много английских слов, например:

taelleonteu (탤런트) и tarento (タレント) - talent;

apateu (아파트) и apāto (アパート) - apartment;

hwaiting (화이팅) и faito (ファイト) - fighting;

saida (사이다) и saidā (サイダ) - cider.

так же, как и русские с другими славянскими