Почему башкирский и татарский языки так похожи, что люди понимают друг друга без перевода ?

Исторически татары - оседлые, башкиры - кочевники. Когда-то приблизительно были одной генетики, но потом разные экологические ниши внесли в генофонд небольшие поправки.

По причине оседлости татары должны быть обычно образованнее башкир, а их язык - более развит. Среди татар есть мнение, что башкирский язык - это деревенская версия татарского. А башкиры, подобно украинцам, полякам и семитам, вспоминают своё великое историческое прошлое и обижаются
)

Тю́ркские языки́ — семья языков, широко распространённых в Азии и Восточной Европе. Область распространения тюркских языков простирается от бассейна реки Колыма на северо-востоке до восточного побережья Средиземного моря на юго-запад. Общее число говорящих — более 180 млн человек.

Это значит что они были одним народом , пока кто то не решил отделится .

они похожие.

Это одна из самых больших загадок в лингвистике. Сотни учёных бьются над ней не одну сотню лет, но до сих пор никто не может объяснить.

Татарский и башкирский языки относятся к поволжско-кыпчакской группе кыпчакских языков тюрской языковой семьи. Фактически эта группа представляет из себя диалектный континуум - например, западный диалект башкирского языка является переходным от южного диалекта башкирского к центральному диалекту татарского.

У обоих этих языков общий язык-предок. Он разделился на два языка не так уж и давно.

Для простоты воспользуемся аналогией с нашими восточнославянскими языками - украинский, белорусский и русский (а также некоторые небольшие языки) произошли от древнерусского, разделились не так давно, а поэтому взаимопонимаемы. Так и здесь - и татарский, и башкирский произошли от поволжско-кыпчакского языка, на котором говорили предки современных татар и башкиров.

Причём разница между украинским и русским языком, возможно, даже больше, чем между этими двумя.