Что за слово сокращённо?

Родительный падеж. В английском это выглядит так:
Притяжательный падеж (possessive case) используется для обозначения принадлежности кого-либо или чего-либо кому-либо или чему-либо. Это единственный английский падеж, в котором форма слова изменяется с помощью окончания. Употребление possessive case порождает довольно много ошибок даже среди носителей английского языка — отличный повод разобраться в нем раз и навсегда!
Притяжательный падеж образуется добавлением к основной форме существительного конструкции ’s (апостроф + окончание -s) в единственном числе и добавлением апострофа (’) во множественном числе.

Не IS и не HAS -- просто образует притяжательное наклонение -- Бизнес Олега или Олегов бизнес

Родительный падеж, т.е. обозначении принадлежности. Ответ на вопрос о сокращениях на скриншотах. Если коротко, раньше окончанием родительного падежа было -es, которое потом сократилось до 's, где апостроф обозначает пропуск "е". Затем и апостроф стал фактически указывать на падеж.
Is и has также сокращаются до 's, но это другое. Всего лишь выглядят идентично. Кстати, обычно эти слова стараются не сокращать, т.к. может быть наложение смысла и быть непонятно, что имеется в виду под 's - is или has. Например, she's a sister - это что? "Она сестра" или "У неё есть сестра"? Это притянутый пример, потому что наиболее вероятно второе предложение, но он лишь показывает суть. Случаи, где в самом деле смысл может быть совершенно неясен, встречаются.

В данном предложение ‘s означает принадлежность, т.е. принадлежащее Олегу - Бизнес Олега процветает.
В других предложениях это может быть сокращением ‘s = is, например, Oleg’s a businessman = Oleg is a businessman - Олег бизнесмен.
Возвращаясь к вашему примеру, если вы не уверены, то просто попробуйте раскрыть ‘s в is или has и посмотрите, что получится:
Oleg’s business is booming
Oleg is business is booming - сразу видно, что это ерунда, также и с has.
Oleg has business is booming - тоже ерунда.
Надеюсь это достаточно наглядно.

Окончание - ’s или апостроф «’» у существительного указывает на принадлежность, отношение чего-то к данному слову или их родственные связи.