Почему обычно говорят "он бился как лев", а не "он бился как тигр" ?

Если уж призываете учить матчасть, так следуйте этому совету сами по крайней мере. Только следуйте ПРАВИЛЬНО.
Если Вас интересует, почему говорят так а не иначе, лезть следует вовсе не в биологию, а в этимологию. Вас же интересуют не повадки львов, а происхождение выражения. Лев у европейских народов издавна считался а) арем зверей, б) образцом смелости, в) образцом благородства и так далее. Предполагают, что главным поводом для этого явилась его грива, предающая самцам такой величественный вид. Углубленные (да и не очень углубленные) познания в биологии укажут, что это не так. Но речь оперирует сложившимися формами. Таких форм много: глупый как осел, грязный как свинья, коварный как змея, трепетная как лань, выносливый как конь и так далее. Ослы, как выяснилось, совсем не глупы, свиньи очень любят чистоту, змеи больше всего хотят, чтобы их не трогали и так далее. Но в языке сложилось так, как сложилось. И если Вы напишете, что кто-то дрался как росомаха в каком-нибудь зоологически-природоведческом тексте, то читатели, в большинстве своем о росомахах имеющие смутные представления, сделают вывод, что росомахи, наверно, здорово дерутся. Если же Вы это напишете в тексте, от биологии далеком, то Вас, скорее всего не поймут.
Говорят "он бился как лев" потому, что так исторически сложилось - из-за слабых познаний широких масс в биологии. Ведь после того, как узнали, что не Солнце вращается вокруг Земли, а наоборот, не стали же говорить вместо "Солнце взошло" - "Земля повернулась к Солнцу".

Царём зверей кто?

Львы обитали в северной Африке и даже на юге Европы ( на выставке про древний Пантикапей ( нынешняя Керчь, в Крыму) об этом узнала.. .
А тигры в далекой Индии и в Уссурийском крае.
Так что никто того тигра ( кроме Афанасия Никитина и Марка Поло) и не видел....

Лев ни с кем не бился. Убивать - да, убивал, но ни с кем не сражался. Так что такое сравнение - унижает.

львов больше когдато было

Львы стали известны европейцам гораздо раньше, чем тигры, поэтому именно лев и закрепился в культуре как символ храбрости, силы, власти и т. д.

Лев более благороден ( в понятиях человека) - перед нападением обычно рычит, извещая жертву.
Тигр нападает из засады, хитрит.
Способы охоты и нападения на жертву у этих животных, естественно, складываются из условий обитания и особенностей, характерных для данного класса.
Но человек, как наблюдатель, и, особенно, под воздействием романтичной литературы о рыцарях, склонен трактовать поведение льва как более "благородное".
Отсюда и формулировка выражения.