Почему Пушкин заставляет читателя ...(внутри)?

Потому что она вела себя наиболее достойным образом.
Судите сами: царь дал каждой из трех девиц возможность реализовать свою мечту, однако жениться мог только на одной. Однако, и ткачиха, и повариха, хотя и могли исполнить обещанное - наткать полотна на весь мир и приготовить пир, тоже на весь мир, но с известным ограничением по признаку вероисповедания, вместо того, чтобы приняться за дело, стали - одна "биться", другая - "плакать". Впоследствии - еще хуже, они из зависти стали интриговать и чуть не отправили две крещеные души на тот свет.
В противоположность им третья сестрица, как Вы помните, приступила к исполнению обещания сразу же, не откладывая в долгий ящик и не водя супруга за нос.
Вообще, мотив состязания сестриц сильно напоминает современную политику:
Две первые сестрицы до выборов обещают бог знает что, а после ни на что, кроме интриг, не способны.
А третья выполнила все предвыборные обещания, за что и получила - бочку, и в океан. Спасибо, хоть бочку, могли бы и камень на шею...

Потому что это Пушкин. Он мухлевал приемчиками, вызывая у читателей искусственные чувства по отношению к своим персонажам.

Не нас, а царя Салтана

Все время для царей важно было продолжение династии - для этого и женились.

Какая радость царю, что весь народ будет сыт и одет? А тут удовольствие, да ещё и наследник

Ну третья, по всей видимости, хотела что-то сделать для самого царя. Значит, если она не прочь была бы родить ему сына, то этим показывала, что для нее он важен как человек, а не так, как остальные. Ведь две другие сестры своими делами хотели снискать его благосклонность. Это ему наверное, и импонировало в третьей сестре.